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apretón de manos
El apretón de manos

En una fiesta, todos los invitados se saludaron dándose un apretón de manos. Hubo 66 apretones de manos. ¿Cuántas personas atendieron la fiesta?

Solución:

Los apretones de manos se utilizan tradicionalmente como saludos, pero también sirven para sellar un acuerdo cuando una transacción de negocios ha sido aceptada mutuamente. Un apretón de manos a veces se usa para caracterizar la personalidad de un individuo. Un fuerte apretón corresponde a una persona asertiva o extrovertida, mientras que un apretón blando se ve como un signo de debilidad y falta de confianza. Algunas enfermedades, como la gripe, pueden transmitirse apretando la mano de una persona infectada. (Véase la higiene)

Con dos personas (A y B), sólo hay un apretón
   (A con B).

Con tres personas (A, B, y C), hay tres apretones
  (A con B y C;   B con C).

Con cuatro personas (A, B, C, y D), hay seis apretones
  (A con B, C, y D;   B con C y D;   C con D).

En general, con n+1 personas, el número de apretones de mano es la suma de los primeros n números consecutivos: 1+2+3+ ... + n.

Dado que esta suma es n(n+1)/2, tenemos que resolver la ecuación n(n+1)/2 = 66.

Esta es la ecuación cuadrática n2+ n -132 = 0. Despejando n, obtenemos 11 como la respuesta y deducimos que había 12 personas en la fiesta.

Dado que 66 es un número relativamente pequeño, este problema también se puede resolver con una calculadora de mano. Sumando 1 + 2 = + 3 = + ... etc. hasta que el total es 66. El último número introducido (11) es n.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) descubrió la fórmula para calcular la suma de los primeros n números consecutivos cuando era un estudiante de primaria, a los 8 años. El maestro pidió que los estudiantes calcularan la suma (S) de los primeros 100 números. El maestro se asombró cuando Gauss obtuvo la suma rápidamente al notar que la suma de la secuencia y el inverso de la secuencia producían una serie de constantes.

  S =   1 +  2 +  3 + ... + 100
  S = 100 + 99 + 98 + ... +   1
 2S = 101 +101 +101 + ... + 101 = 100×101

  S = (100×101)/2 = 5,050

La simetría de la solución también se puede observar con una representación gráfica:

Suma de los los primeros n números

 
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